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如何计算市场暗含的美联储调息概率？

2022-09-06 14 min read # Economics

2022年9月6日夜

写在前面

作为实质上的外行，阅读财经时讯时我常会遇到不甚理解的概念；而出于贪图顺畅阅读体验的需要，我总是假设自己“完全明白其内涵”、并继续消化后文。如此一来流弊逐渐显现：一年前不懂的概念一年后仍是不懂。今年于我最常见的例子便是“美联储加息概率”：我所明白的只是“它是一种概率”这一事实，然后便片面地选择相信、不求甚解。

反思之余我做了点小小的研究，参考资料的链接会放到文末（你也可以选择直接跳到文末阅读参考资料🐶）。

小例子及相关概念

下图来自路透社于2022年4月24日的一篇报道，以此为例或许能让你更有代入感。框选中的内容大意为“与政策利率挂钩的利率期货的价格预示着美联储新加息150bp的概率超过80%”。这段话虽短，但从中可以提取三种信息：1）政策利率、2）利率期货的价格、以及3）概率。读到此处想必聪明的你已经“玩明白了”：由利率期货的市场价格导出的隐含利率将在后续的概率推算中扮演重要角色。

A News Report Regarding the Chance of Rate Hike
Reuters

政策利率

美联储的政策利率通常是指联邦基金利率（Fed Funds Rate），具体而言可以分为目标利率与*有效利率（EFFR）*两类，其区别在于：前者由联邦公开市场委员会设定，后者则出自于存款机构间隔夜无担保的借款交易；但由于美联储可以通过公开市场操作释放或回收资金调节供需，有效利率往往能被控制在目标利率的区间内。如下图于阴影中的深蓝线，最近的一年里它曲折向上攀升，反映着借款成本的紧缩型政策导向；面对善变的借款成本曲线，出于审慎考量的机构自然希望能利用金融工具对冲短期风险——由此与政策利率挂钩的期货合约在市场中格外重要。

Target Rate and Effective Federal Funds Rate
Federal Reserve Bank of New York

联邦基金利率期货

而上述新闻中提到的期货通常指在芝商所（CME）交易的30天联邦基金期货（30 Day Federal Fund Futures, FF），其到期结算价格等于(100 - 结算月EFFR的算术平均数)，因此在到期结算日前每个交易日 FF的价格变化可以直接反映对合约所在月联邦基金利率水平的预期。举例而言，2022年9月的 FF 将在2022年10月1日进行结算，则其结算价格为 (100 - 9月每日 EFFR 的算术平均值)；随着时间逐渐接近9月底10月初，9月合约 FF 的隐含利率也将与 EFFR 逐渐收敛（如下图）。

The Convergence of EFFR and Implied Rate
TradingView

市场参与者预期的未来联邦基金利率越高，该期货的价格越低——与资金市场的利率变化恰恰相反，这也是以此为对冲工具的原因之一。在现实世界中我们无法直接观测到对未来利率的预期，好在高流动性的利率期货为我们提供了对预期的合理推测：隐含的合约到期月平均联邦基金利率=100-日前的联邦基金期货价格。如下图所示，呈下行状的期限结构（Term Structure）蕴含未来数月不断攀升的预期联邦基金利率。

30 Day Federal Funds Futures
CME Group

Quote of FF Futures and Its Implied Rate

与此同时，作为中央银行的美联储直接影响着美国的货币与信贷环境，其一颦一笑对市场而言都蕴含着大量的解读空间；而美联储中执掌公开市场操作的联邦公开市场委员会（FOMC）更是格外引人关注。该委员会通常每年举行八次会议、讨论时下的经济情况并针对性的调整公开市场操作（如下图），因此在每次会议前市场都议论纷纷，希望能利用现有信息预知会议导向从而提前行动——行动的结果便直接体现于联邦利率期货的价格：举个例子，若审慎的市场参与者预期美联储将在十一月 FOMC 会议中宣布上调联邦基金利率50bp至3.4%，为了免受利率变化的影响，他们便蜂拥围绕96.6的报价交易合约期为11月的联邦基金利率期货——由此令96.6成为市场共识。

FOMC Meeting Calendars
Federal Reserve

Implementation Note Regarding Open Market Operations
Federal Reserve

假设

FOMC 对联邦基金利率的调整幅度通常为 25bp 的整数倍（1994年以来最大为 75bp），因此可以将加息幅度预设在{0, 25, 50, 75} bp 的集合内；此处不妨使用 25 bp 的假设。

FOMC Meeting Date Rate Change (bps) Federal Funds Rate Range
July 27, 2022 +75 2.25% to 2.5%
June 16, 2022 +75 1.5% to 1.75%
May 5, 2022 +50 0.75% to 1.00%
March 17, 2022 +25 0.25% to 0.50%
Recent Fed Funds Rate Change
Forbes

此外，如下图所示，EFFR 受公开市场操作的调控，其变动往往与目标利率一致，因此可以假设加息将使 EFFR 上升相同的幅度：即 50bp 的加息令 EFFR 从 2.33% 升至 2.88%。

Effective Federal Funds Rate and Target Rates
TradingView

基于1）弱有效市场假说与2）市场提前定价下次 FOMC 会议的事实，可以进一步提出两个浅显的假设：在某一时间点，

  1. 联邦基金利率现货的价格（ EFFR ）已吸收截至此时所有的历史信息，包括此前 FOMC 的货币政策变化；但由于受目标利率上下界的约束，无法吸收对下次会议可能结果的预期。
  2. 30天联邦基金利率期货的价格（30 Days FF Futures）除了包含历史信息外，还体现市场此时对合约所在月 EFFR 的平均预期；但该合约的交易在当月截止，无法对冲未来后续月份的头寸，因此难以体现对本月后会议的预期。

加息概率的推导

基于上述情形对联邦基金有效利率（EFFR）的估计，FOMC 会议当月加息与否的概率可以表示为：

P(Rate Hike)=EFFREnd−EFFRStartSize of HikeP(Rate\,Hike)=\frac{EFFR_{End}-EFFR_{Start}}{Size\,of\,Hike}

P(No Hike)=1−P(Rate Hike)P(No\,Hike)=1-P(Rate\,Hike)

这样计算的原因在于：假设加息的概率为P，则无动于衷的概率为1-P：

在初始时点0，对时点1点的 EFFR 的预期可以表示为：

E[EFFR1]=EFFR1,H×P+EFFR1,N×(1−P)E[EFFR_1] = EFFR_{1,H}\times P + EFFR_{1,N}\times(1-P)

与此同时，

E[EFFR1]≈Implied EFFR1=1−FF1E[EFFR_1]\approx Implied\,EFFR_1=1-FF_1

EFFR1,N≈EFFR0EFFR_{1,N}\approx EFFR_0

由（3）（4）（5）式可得，

P=1−FF1−EFFR0EFFR1,H−EFFR0=E[EFFR1]−EFFR0EFFR1,H−EFFR0P=\frac{1-FF_1-EFFR_0}{EFFR_{1,H}-EFFR_0}=\frac{E[EFFR_1]-EFFR_0}{EFFR_{1,H}-EFFR_0}

其中，分母EFFR1,HEFFR_{1,H}与 EFFR0EFFR_0 的差代表着实际的加息幅度，分子则表示的是未来联邦基金利率的期望与现在的差；正如前文所述，期望无法被直接观测，计算时只好以联邦利率期货隐含利率替代。至此想必你已理解（1）（2）式的由来。

有效联邦基金利率（EFFR）的估算

2022 FOMC Meeting Calendar

经济观察者们通常在两次 FOMC 会议之间对下次的决议作出预测；观察者的所处时间节点的不同，对 EFFR 的估计方法也略有差异：未进入下次会议月前 EFFRStartEFFR_{Start} 与 EFFREndEFFR_{End} 均为未知数，而进入会议月后只有 EFFREndEFFR_{End} 不得而知。

会议月（t）前 会议月初
EFFR_Start ? EFFR_Start
EFFR_End ? ?

情形一

在会议月初进行观测对我而言更有意义（不包括如11月 FOMC 定于月初举行的情况），其原因在于时间的流逝会让市场报价吸纳更多新信息、保证判断不会为时过早；而且此时此刻已经知晓月初 EFFR，只需估计月末 EFFR。以六月为例，已知 FF 的结算价格为当月 EFFR 的算术平均，不妨以时间加权平均做近似：

(1−FFJUN)×DaysJun=EFFRStartJun×DaysBefMtg+EFFREndJun×DaysAftMtg(1-FF_{JUN})\times Days_{Jun}=EFFR_{Start}^{Jun}\times Days_{BefMtg}+EFFR_{End}^{Jun}\times Days_{AftMtg}

那么月末的 EFFR 可以表示为：

EFFREndJun=(1−FFJUN)×DaysJun−EFFRStartJun×DaysBefMtgDaysAftMtgEFFR_{End}^{Jun}=\frac{(1-FF_{JUN})\times Days_{Jun}-EFFR_{Start}^{Jun}\times Days_{BefMtg}}{Days_{AftMtg}}

倘若下个月无 FOMC 会议，则月末 EFFR 亦可表示为（100 - 下个月到期的 FF 现在的报价）：

EFFREndThisMonth=100−FFNextMonthEFFR_{End}^{ThisMonth}=100-FF_{NextMonth}

情形二

但迫于各种限制，总会存在“于会议月前观测并作出判断”的场景，这就要求我们对月初与月末的EFFR做估计。通常而言在 Open Market Operation 的规约下 EFFR 难以离开 Target Rate 的上下界，因此在上次会议结束后、下次会议开始前，EFFR 曲线通常不会出现 Kink。由此可知：

EFFRStartJun=EFFREndMayEFFR_{Start}^{Jun}=EFFR_{End}^{May}

月末的 EFFR 可以表示为：

EFFREndJun=(1−FFJUN)×DaysJun−EFFREndMay×DaysBefMtgDaysAftMtgEFFR_{End}^{Jun}=\frac{(1-FF_{JUN})\times Days_{Jun}-EFFR_{End}^{May}\times Days_{BefMtg}}{Days_{AftMtg}}

倘若下个月无 FOMC 会议，则月末 EFFR 亦可表示为（100 - 下个月到期的 FF 现在的报价）：

EFFREndThisMonth=100−FFNextMonthEFFR_{End}^{ThisMonth}=100-FF_{NextMonth}

结合实例计算加息概率

在得出计算方法后，不妨结合真实情况做对比，以检验估算概率的方法是否靠谱。以2022年 FOMC 会议月的月初为观测点计算当月会议加息的概率。其中 EFFRStartEFFR_{Start} 与 EFFREndEFFR_{End} 均为真实数据，用以计算实际的加息幅度；Implied EFFRImplied\,EFFR 则是根据前述方法计算得出，用以替代观测时点时仍然未知的 EFFREndEFFR_{End}。

Month Meeting Day EFFR_Start (%) EFFR_End (%) FF (This Mth Bgn) FF (Next Mth) Implied EFFR for Mth End (%)
Jan-22 26 0.08 0.08 99.9175 99.917 0.0830
Mar-22 16 0.08 0.33 99.7921 99.6569 0.3431
May-22 4 0.33 0.83 99.2168 98.8531 0.8503
Jun-22 15 0.83 1.58 98.915 98.5878 1.3400
Jul-22 27 1.58 2.33 98.3254 97.7154 2.2846
Sep-22 21 2.33 Unknown 97.4605 97.0055 2.9945

成功获取计算必需的 EFFRStartEFFR_{Start} 与 Implied EFFRImplied\, EFFR 之后，可得各种加息情况的发生概率。当单元格中计算所得概率大于100%时，表明当月 FOMC 加息必然能达到所在列的幅度（如第二列25bp、第三列50bp...）；最右侧为当月实际的加息幅度，与之作比较可粗略判断左侧概率估计的合理性。关于即将到来的 FOMC 9月会议，表格显示彼时加息 75bp 的概率为88.60%，期待本月21日答案的揭晓～

Month Prob of 25bp Hike Prob of 50bp Hike Prob of 75bp Hike Prob of 100bp Hike Real Size of Hike (bps)
Jan-22 1.20% 0.60% 0.40% 0.30% 0
Mar-22 105.24% 52.62% 35.08% 26.31% 25
May-22 208.14% 104.07% 69.38% 52.03% 50
Jun-22 204.00% 102.00% 68.00% 51.00% 75
Jul-22 281.84% 140.92% 93.95% 70.46% 75
Sep-22 265.80% 132.90% 88.60% 66.45% ?

参考资料

“30-Day Fed Funds Historical Prices.” n.d. Barchart.com. Accessed September 6, 2022. https://www.barchart.com/futures/quotes/ZQV22/historical-prices?viewName=main&orderBy=contractExpirationDate&orderDir=asc&page=all.

“Effective Federal Funds Rate.” n.d. Newyorkfed.org. Accessed September 4, 2022. https://www.newyorkfed.org/markets/reference-rates/effr.

“Federal Reserve Board - Open Market Operations.” n.d. Board of Governors of the Federal Reserve System. Accessed September 4, 2022. https://www.federalreserve.gov/monetarypolicy/openmarket.htm.

“Implementation Note Issued July 27, 2022.” n.d. Board of Governors of the Federal Reserve System. Accessed September 4, 2022. https://www.federalreserve.gov/newsevents/pressreleases/monetary20220727a1.htm.

“Market Probability Tracker.” n.d. Atlantafed.org. Accessed September 3, 2022. https://www.atlantafed.org/cenfis/market-probability-tracker.

Reuters. 2022. “Traders Bet Fed to Go Bigger, but Mester Says Not so Fast,” April 22, 2022. https://www.reuters.com/business/finance/fed-go-even-bigger-rate-hikes-traders-bet-2022-04-22/.

Tepper, Taylor. 2022. “Federal Funds Rate History 1990 to 2022.” Forbes. August 3, 2022. https://www.forbes.com/advisor/investing/fed-funds-rate-history/.

“The Fed - Meeting Calendars and Information.” n.d. Board of Governors of the Federal Reserve System. Accessed September 4, 2022. https://www.federalreserve.gov/monetarypolicy/fomccalendars.htm.

“玩明白了是什么意思？ - 小鸡词典.” n.d. Jikipedia.com. Accessed September 3, 2022. https://jikipedia.com/definition/619562643.

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